什么是张量 ？

张量(Tensor) 是在坐标转变下不变的一种形式量，比如数量、线性空间里的向量，通常以分量形式表现，是近代表述流形的几何性质和物理法则的重要数学工具。最初在19世纪末，意大利数学家 Ricci 利用分量的变换法则来定义张量，近代数学则已经将张量优雅地看做向量空间及其对偶空间上的多重线性函数，使得张量的性质和意义愈加明确。

张量的数学定义

设V是向量空间，V*是其对偶空间。笛卡尔乘积空间

上的一个p+q 重线性函数，称作一个 (p,q) 型张量。其中 p 为反变 (contravariant) 阶数， q为协变(covariant )阶数。

注：这里多重线性函数是指：

对偶空间是指：向量空间 V 上所有的线性函数所组成的线性空间，称为V的对偶空间，记作 V*.

特殊 地，(1,0)型张量就是向量空间V中的元素，(0,0)型张量即为实数。

张量的分量我们知道，要确定一个线性函数，只要知道它在向量空间基底上的取值即可。假如 在n维向量空间V中取定一个基底

相应地，对偶空间 V* 的对偶基底记为

即称心

则

称为(p,q)型张量 f 的分量，一共有

个。

假如 V的基底变成另一组

对偶基底为

基底之间的变换关系为：

其中a' 是 a 的逆矩阵，即：

这里用到了Einstein求和约定：在一单项式里，上指标和下指标有重复，代表对该指标求和，比如：

这时，对应张量 f 的分量变为

称心

可以看到，张量 f 的分量中，上指标的变换系数是基底变换矩阵的逆的乘积，下指标的变换系数恰就是基底变换矩阵的乘积。这就是称上指标为逆变阶数，下指标为协变阶数的原因。历史上，Ricci 就是用上述分量的变换法则来定义(p,q)型张量，这与线性映射的定义方式是一致的。也就是说，每一个张量在基底变换时，其分量必定称心上述的变换法则；反过来，称心上述变换法则的一组分量必定可以对应一个 p+q 重线性函数。

依据指标的对称性，张量可以分为对称张量与反对称张量，其中流形上的反对称协变张量是外微分理论的基础。物理里很多重要的方程都是张量方程，比如广义相对论中闻名 的爱因斯坦场方程：

这里R和g分别 是时空的Ricci曲率和度量，都是二阶对称协变张量。