什么是黎曼问题

  黎曼函数是一个特殊 函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高档数学中被普及利用 ，在良多情状下能够做为反例来验证某些函数方面的待证命题。此函数在微积分中有着重要利用 。编纂本段定义R(x)=0，假设 x=0，1或(0,1)内的无理数；R(x)=1/q，假设 x=p/q（p/q为既约实分数），即x为(0,1)内的有理数。

  编纂本段性量定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0。证实 ：对肆意x0∈(0,1)，任给正数ε，考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点，因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+），且对每个q，函数值等于1/q的点都是有限的，所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的。

  设那些点，连同0、1，与x0的最小间隔为δ，则x0的半径为δ的往 心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中，从而黎曼函数在x-x0时的极限为0。推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处继续，有理点处处不继续。推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的。

  （现实上，黎曼函数在[0,1]上的积分为0。）证实 ：函数可积性的勒贝格判据指出，一个有界函数是黎曼可积的，当且仅当它的所有不继续点构成的聚集测度为0。黎曼函数的不继续点聚集即为有理数集，是可数的，故其测度为0，所以由勒贝格判据，它是黎曼可积的。

  编纂本段图像函数图像按照定义可知，黎曼函数的函数图象应该是一系列松懈的点，而非继续曲线，那是因为它一方面处处极限为0，另一方面在肆意的小区间中，都包罗着无数个值不为0的点。凡是来说，黎曼函数的图像是由它在函数值更大的有限个有理点的值构成的散点图来迫近的。

  从黎曼函数的图像中能够看出，函数值比力大的点是很稀少的，跟着函数值的减小，点在横向和纵向上都变得越来越密集。按照图像的特征 ，黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数。编纂本段变体R(x)=0，假设 x为肆意无理数；R(x)=1/q，假设 x=p/q（p∈Z，q∈Z+，(p,q)=1），即x为肆意有理数。

  如许定义的黎曼函数R上的所有无理点处处继续，有理点处处不继续。