如何证明海伦公式？

海伦公式是用来计算三角形面积的公式，它的形式为：$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，此中 $a$、$b$、$c$ 别离暗示三角形的三边长度，$p$ 暗示三角形的半周长。

证实海伦公式的过程能够分为以下几个步调：

起首，我们构造一个高，将三角形分红两个曲角三角形，如下图所示：

设 $h$ 为高的长度，$a_1$ 和 $a_2$ 别离为底边 $a$ 上的两个线段的长度，那么有：

$$a_1 + a_2 = a$$

$$\frac{1}{2}h(b+c) = S$$

按照勾股定理，我们能够得到：

$$h^2 = b^2 - a_2^2$$

又因为 $a_2 = a - a_1$，所以能够将上式改写为：

$$h^2 = b^2 - (a - a_1)^2$$

展开后得到：

$$h^2 = b^2 - a^2 + 2aa_1 - a_1^2$$

按照海伦公式，我们能够得到：

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

将 $p$ 暗示成 $a$、$b$、$c$ 的函数，有：

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

将 $p$ 带进海伦公式中，得到：

$$S = \sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}}$$

将 $S$ 的式子展开后，能够得到：

$$S^2 = \frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}$$

将 $h^2$ 的式子代进 $S^2$ 中，能够得到：

$$S^2 = \frac{4b^2c^2 - (b^2+c^2-a^2)^2}{16}$$

另一种化简 $S$ 的 *** 是利用余弦定理。按照余弦定理，我们能够得到：

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$

将上式代进 $S$ 的式子中，能够得到：

$$S^2 = \frac{1}{16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$$

$$= \frac{1}{16}(2a^2b^2+2a^2c^2-2a^4+2b^2c^2-a^2b^2-a^2c^2)$$

$$= \frac{1}{16}(2b^2c^2 - (b^2+c^2-a^2)^2)$$