函数的本质是什么

函数的本质是什么

不请自来，我是数学漫谈——专注数学教诲，传播数学文化，下面谈谈我的熟悉。

函数是我们接触很早的1个概念，初中阶段我们开始接触函数的概念，从1次函数到反比例函数再到2次函数，到了高中阶段我们学习指数函数、幂函数、3角函数、反3角函数。可以说在中学阶段我们1直在和函数打交道。

大学阶段的高等数学或数学分析，研究对象就是函数，还有复变函数、实变函数、泛函分析等等。总之1句话如果你1直学习数学的话，你会发现函数是陪伴你最长的概念。

那到底函数的本质是什么？其实函数的概念并非生来就有，也并非1成不变的，对于函数的本质，不同的历史阶段有不同的认知。人们对函数的认知从最早的变量说、发展为对应说，再到后来的关系说，最后妥善到聚集范畴。

变量说阶段

古罗马数学家丢番图在《算术》中引进了变量的概念，这是函数概念的萌芽。

函数概念的真正发展是16世纪以后，特别是微积分的创立，极大的促进了函数概念的产生、发展和完美。

17世纪伽利略的著作《两门新科学》中包含了变量或函数的概念，不过他是用文字和比例的语言来表达的，没有明确的提到函数的概念。

在此之后，解析几何之父——笛卡尔在研究中发现了两个变量之间存在相互依靠的关系，最先提出了“变量”的概念。

1665年，牛顿提出了“流数术”，他用“流量”1词描述变量之间的依靠关系。

1673年，数学符号大师——莱布尼茨首次提出了“函数”这1术语，用函数描述随着曲线上的点转变的量。不过最早英文中的“function”并不阐明 为函数的意思，而是“功能”，除此之外，他还引进了"变量"、"常量"、“参变量”等概念，这些名词1直沿用至今。

以上都是在几何领域内给出的变量之间的依存关系，牛顿和莱布尼茨虽然创立了微积分，但没有给出函数的解析定义。17世纪末以前，人们还没有从普及 意义上熟悉到函数的本质。

对应说阶段

微积分的创立极大的促进了函数概念的发展，在前人的基础上，1718年，约翰.贝努利对函数概念进行了明确定义，把常数和变量x按任何方式构成的量称为"x的函数"。

18世纪中叶，欧拉给出了函数的符号f(x)，并提出了函数的解析表达式，他认为：“1个变量的函数是由这个变量和常数以任意方式组成的解析表达式”，他还规定了函数在给定的函数的“定义域”内由同1个解析表达式来表达 ，这标志着函数概念由几何形态转向代数形态。这和我们初等函数的概念已经很接近了。

关系说阶段

函数的概念还在不断的完美和发展，1800年前后，数学分析的周密化对函数概念提出了更高的要求。

1822年，傅里叶发现有些函数可以用曲线表达 ，也可用1个式子或多个式子来表达 ，他的发现推动了函数概念又1次发展，结束了函数概念是否用唯1式子表达 的争论。

1823年，柯西从定义变量角度给出了函数的概念，并给出了变量和自变量的定义，他认为无穷级数是定义函数的有效 *** ，但函数不1定有解析表达式。

1837年，狄利克雷给出了函数的定义：“若多x的每1个值，有晚往确定的y 值与之对应，则不管对应方式如何，都成为y对x的函数”。狄利克雷给出的函数定义已经和我们现在教科书中的定义很吻合了。

聚集论下的函数

康托尔创立了聚集论，人们把函数的定义域由数妥善到聚集上。

1887年，戴德金给出了系统S上的1个映射蕴含了1个规则，依此规则，S中的每1个元素都对应着1个确定的对象，S称为映像。这是函数概念的扩充。

随后，维布伦用“聚集”和“对应”的概念给出了近代函数定义：

“若在变量y的聚集与另1个变量x的聚集之间，有这样关系成立，即对x的每1个值，有完全确定的y值与之对应，则称变量y是变量x的函数。”

他把函数的定义域、值域及对应法则进1步具体化。

1939年法国的布尔巴基学派给出完美的现代函数的定义：

“设Ｅ和Ｆ是两个聚集,它们可以不同也可以相同。Ｅ中的1个变元x和Ｆ中的变元y之间的1个关系称为1个函数，如果每1个x∈Ｅ,都存在唯1的y ∈Ｆ，它称心x的给定关系。”

结语

结合以上函数概念发展的历程，我们不难看出，随着科学的不断进取 ，函数的概念也在不断完美，目前中学和高等数学上的函数是基于实数领域内的，可以理解为：对于任意1个非空聚集的自变量x，通过对应法则f，都能找到唯1确定的y与之对应，那么y是关于x的函数。但除了实数领域内的函数，我们还有复变函数（复数领域内的）、实变函数、泛函分析、点集拓扑等和函数有关的学科。